5 ago. 2013

Problema



Tomados tres naturales
que sean consecutivos,
ni muy grandes ni cativos,
y por supuesto no iguales

y al cubo son elevados
que, como todos sabéis,
se trata de elevar a tres,
y sumo los resultados,

Haga sol o llueva o nieve
lo que se obtiene al final
es otro valor natural
que es un múltiplo de nueve.

 
(n-1)3+n3+(n+1)3  = múltiplo de 9

Demostración (por inducción)

Cierto para n=1, puesto que 9 es múltiplo de 9
Lo suponemos cierto para n-1, esto es:

(n-2)3+(n-1)3+n3 es múltiplo de 9
n3-6n2+12n-8+n3-3n2+3n-1+n3 es múltiplo de 9
2n3-9n2+15n-9 es múltiplo de 9
2n3-9n2+6n+9n-9  es múltiplo de 9
2n3+6n es múltiplo de 9, que es nuestra hipótesis de inducción.

Lo probaremos para n

(n-1)3+n3+(n+1)3=
n3-3n2+3n-1+n3+ n3+3n2+3n+1 = 2n3+6n-9
Como por la hipótesis de inducción
2n3+6n es múltiplo de 9, entonces 2n3+6n-9 es múltiplo de 9, como queríamos demostrar.

José M. Ramos González. 
Cádiz, agosto 2013 

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